Răspuns:
[tex]\overline{7a_1\ldots a_k}=5\cdot \overline{a_1\cdots a_k 7}[/tex] implica [tex]a_k=5[/tex] sau [tex]a_k=0[/tex].
Daca [tex]a_k=0[/tex], nu puteam avea
[tex]\overline{7a_1\cdots a_{k-1}0}=5\cdot \overline{a_1a_2\cdots 07}[/tex]
pentru ca ultima cifra a numarului din dreapta este 5.
Pentru k=1, [tex]75\neq 5\cdot 57[/tex].
Pentru k=2, [tex]\overline{7a_15}=5\cdot\overline{a_157}[/tex] implica
[tex]705+10a_1=500a_1+5\cdot 57[/tex] deci [tex]10a_1=705-285=520[/tex] adica [tex]a_1=5,2[/tex] ceea ce e imposibil.
Pentru k=3, [tex]\overline{7a_1a_25}=5\cdot\overline{a_1a_257}[/tex] implica
[tex]7005+100a_1+10a_2 = 5000a_1+500a_2+285[/tex] de unde
[tex]490(10a_1+a_2)=7005-285=6720[/tex], ceea ce nu se poate.
In general, daca [tex]\overline{7a_1\ldots a_{k-1}5}=5\cdot\overline{a_1\ldots a_{k-1}57}[/tex] rezulta
[tex]7\cdot 10^{k}+5+10(a_{k-1}+10a_{k-2}+\cdots) = 500(a_{k-1}+10a_{k-2}+\cdot)+285[/tex] de unde
[tex]7\cdot 10^k - 280 = 490(a_{k-1}+10a_{k-2}+\cdots)[/tex]
deci [tex]10^{k-1}-4=7(a_{k-1}+10a_{k-2}+\cdots)[/tex]
Cel mai mic numar natural k pentru care [tex]7|10^{k-1}-4[/tex] este 5 si avem [tex]10^4-4 = 7\cdot 1428[/tex] deci [tex]a_4+10a_3+100a_2+1000a_1=1428[/tex] deci [tex]a_4=8,a_3=2,a_2=4,a_1=1[/tex]
Prin urmare, numarul cautat este: [tex]714285=5\cdot 142857[/tex]
