Răspuns:
Trebuie studiata intai marginirea, si pe urma monotonia:
b) Observam ca [tex]a_2=\sqrt{a_1+6}=\sqrt{\sqrt 6+6}\leq \sqrt{3+ 6}=3.[/tex]
Aratam ca [tex]a_n\in [\sqrt 6,3][/tex] pentru orice [tex]n\in\mathbb N^*[/tex], prin inductie dupa n.
I. Pentru n=1, avem [tex]a_1=\sqrt 6\in[\sqrt 6,3][/tex] adevarat.
II. Presupunem ca [tex]a_n\in[\sqrt 6,3][/tex], pentru un [tex]n\geq 1[/tex]. Atunci
[tex]a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}\geq \sqrt{\sqrt 6+ 6}\geq \sqrt{6}[/tex]
De asemenea, [tex]a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}\leq \sqrt{3+6}=3[/tex]
Deci [tex]a_{n+1}\in [\sqrt 6,3][/tex].
Din I si II, conform principiului inductiei matematice, rezulta ca [tex]a_n\in [\sqrt 6,3][/tex] pentru orice [tex]n\in\mathbb N^*[/tex], deci sirul e marginit.
a) Avem [tex]a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+6}-a_n = \frac{a_n+6-a_n^2}{\sqrt{a_n+6}+a_n}[/tex].
Ecuatia: [tex]-x^2+x+6=0[/tex] are solutiile [tex]x_1=-2,x_2=3[/tex], deci [tex]-x^2+x+6\geq 0[/tex] pentru [tex]x\in [-2,3][/tex].
Cum [tex]a_n\in [\sqrt 6,3][/tex], rezulta ca [tex]-a_n^2+a_n+6\geq 0[/tex]. deci [tex]a_{n+1}-a_n\geq 0[/tex], deci sirul e crescator.
c) Cum sirul [tex](a_n)_a[/tex] este crescator si marginit, rezulta din teorema lui Weierstrass ca este convergent. Fie [tex]\ell=\lim_{n\to\infty}a_n[/tex]. Din relatia [tex]a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}[/tex], trecand la limita, rezulta:
[tex]\ell=\sqrt{\ell+6}[/tex], deci [tex]\ell^2-\ell-6=0[/tex]. De aici rezulta ca [tex]\ell \in \{-2,3\}[/tex]. Dar [tex]a_n\in[\sqrt 6,3][/tex], deci limita sirului nu poate fi -2. Rezulta ca [tex]\ell=3[/tex].
