Răspuns:
Injectivitate: Fie [tex]x_1,x_2\in (1,\infty)[/tex] astfel incat [tex]f(x_1)=f(x_2)[/tex]. Rezulta [tex]x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}[/tex] <=> [tex]x_1-x_2=\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}[/tex] <=> [tex] (x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1x_2})=0[/tex]. Dar [tex]x_1>1,x_2>1[/tex] deci [tex]x_1x_2>1[/tex] deci [tex]1-\frac{1}{x_1x_2}>0[/tex].
Prim urmare, din [tex] (x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1x_2})=0[/tex] rezulta [tex]x_1=x_2[/tex].
Surjectivitate: Fie [tex]y\in (2,\infty)[/tex]. Cautam [tex]x\in (1,\infty)[/tex] cu f(x)=y. Adica [tex]x+\frac{1}{x}=y[/tex] <=> [tex] x^2-yx+1=0[/tex]. Avem [tex]\Delta=y^2-4>0[/tex]. Ecuatia are doua solutii [tex]x_{1.2}=\frac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2}[/tex]. Dar [tex]x_1=\frac{y-\sqrt{y^2-4}}{2}<1[/tex] si [tex]x_2=\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}>1[/tex]. Cum [tex]f(x_2)=y[/tex], rezulta ca f e surjectiva.
[tex]f^{-1}(y) = x_2=\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}[/tex]
Explicație pas cu pas:
