Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Asimptota orizontală Fie f:E→R, E⊂R, unde E conţine un interval de forma (a,+∞).
Definiţie. Se spune că dreapta y=l este asimptotă orizontală la graficul funcţiei spre +∞, dacă l∈R (există şi este finită), unde
l=limx→+∞f(x).
Analog asimptota orizontală spre -∞.
[tex]\lim_{x \to \infty} f(x)= \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x-4}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x(1-\frac{4}{x} }= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{1-\frac{4}{x}}=\frac{\infty}{1-0}=\infty[/tex]
Deci functia nu are asimptote orizontale pentru x→±∞.
Căutăm asimptotele oblice ale acestei funcții, dacă acestea există.
Căutăm asimptotele oblice ale acestei funcții, dacă acestea există.
Căutăm drepte de forma y=mx+n la +∞ unde:
[tex]m= \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{x(x-4)}= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{x^{2}-4x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{x^{2}(1-\frac{4}{x} )}=\frac{1}{1-0}=1,~deci~m=1.\\n=\lim_{x \to +\infty}(f(x)-mx)=\lim_{x \to +\infty}(\frac{x^{2}}{x-4}-1*x)=\lim_{x \to +\infty}\frac{x^{2}-x(x-4)}{x-4}= \lim_{x \to +\infty} \frac{4x}{x-4}=4,~deci~n=4.\\[/tex]
Atunci y=x+4 este asimptota oblica la +∞.
Aceeasi dreapta va fi si la -∞.
Cercetam daca dreapta x=4 este asimptota vertical. Calculam f(4-0) si f(4+0).
[tex]f(4-0)= \lim_{x \to 4, x<4} f(x)= \lim_{x \to 4, x<4}\frac{x^{2}}{x-4}=\frac{4*4}{4-4}= \frac{16}{0_{-}}=- \infty\\f(4+0)= \lim_{x \to 4, x>4} f(x)= \lim_{x \to 4, x>4}\frac{x^{2}}{x-4}=\frac{4*4}{4-4}= \frac{16}{0_{+}}=+\infty\\Deci~x=4.~asimptota~verticala~bilaterala[/tex]