Răspuns:
b) [tex] \lim_{x\searrow 0} f(x) =\lim_{x\searrow 0 } \frac{\sin 2x}{x} = 2 \lim_{x\searrow 0}\frac{\sin 2x}{2x}=2\cdot 1 =2 =f(0)[/tex]
deci f este continua in 0. Pe de alta parte f e continua pe [tex](0,\pi][/tex], deci f este continua pe [tex][0,\pi][/tex]. f continua pe [tex][0,\pi][/tex] => f este integrabila.
La c) e aceeasi idee: [tex]\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} \frac{tg x}{3x}=\frac{1}{3}=f(0)[/tex] deci f e continua in 0. Pe de alta parte, f e continua pe [tex][-\frac{\pi}{3},0)\cup (0,\frac{\pi}{3}][/tex], deci f este continua pe [tex][-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}][/tex], deci integrabila.
e) f(x)=|x+1| este continua (compunere de functii elementare continue), deci este integrabila.
Observatie: Daca [tex]f:[a,b]\to\mathbb R[/tex] este continua, atunci este integrabila. Esential e sa fie un interval inchis si marginit! Altfel nu mai e adevarat. De ex. [tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex] e continua pe (0,1] dar nu e integrabila pe (0,1]. (Integrala Riemann oricum e doar pentru functii definite pe intervale inchise si marginite)
