Răspuns:
1) Enuntul e scris gresit. Trebuia sa fie [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n2^n}[/tex]. Oricum, se rezolva asa:
[tex]a_n=\frac{1}{n2^n}[/tex]
Raza de convergenta: [tex]R=\lim_{n}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \lim_n \frac{1}{n2^n}\cdot\frac{(n+1)2^{n+1}}{1} = \lim_n \frac{2(n+1)}{n}=2.[/tex]
Pentru [tex]x=2[/tex] seria devine [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex] care este divergenta (Seria armonica).
Pentru [tex]x=-2[/tex] seria devine [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^n}{n2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}[/tex] care este convergenta (Din criteriul Leibniz)
Prin urmare, multimea de convegenta este D=[-2,2).
Fie S(x)=suma seriei. Pentru [tex]x\in (-2,2)[/tex], avem:
[tex]S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x^n}{n2^n}\right)' = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx^{n-1}}{n2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{2^{n}}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n+1}} =[/tex]
[tex] = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^n = \frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2-x}.[/tex]
Atunci, pentru [tex]x\in [-1,1)[/tex] avem
[tex]S(x)=\int_0^x S'(t) dt = \int_0^x \frac{1}{2-t}dt = - \ln(2-t)|_0^x = ln 2 - ln (2-x).[/tex]
2) [tex]f(x)=f(-2) + f'(-2)(x+2) + \frac{f''(-2)}{2!}(x+2)^2 + \frac{f'''(-2)}{3!}(x+2)^3[/tex]
Sper ca stii sa calculezi derivatele lui f. :)
