a = ∛(2+√5)
b = ∛(2-√5)
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
a³+b³ = (a+b)(a²+b²-ab)
a³+b³ = (a+b)[(a+b)²-2ab-ab]
a³+b³ = (a+b)[(a+b)²-3ab]
Notez:
a+b = x
2+√5+2-√5 = x[x²-3∛(2+√5)∛(2-√5)]
4 = x[x²-3∛(4-5)]
4 = x(x²+3)
x³+3x-4 = 0
Observăm că x = 1 este soluție.
Cum x are valoare unică, rezultă că:
x = 1 ⇒ a+b = 1 ⇒
⇒ ∛(2+√5)+∛(2-√5) = 1 ∈ ℚ
