Răspuns:
Pentru orice a,b>0 avem a+1/a>=2 si b+1/b>=2. Deci 1/a>=2-a, 1/b>=2-b.
Atunci (2+a+b)^n + (2+1/a+1/b)^n >= (2+a+b)^n + (2+2-a+2-b)^n =
= (2+a+b)^n + (6-a-b)^n. (1)
Notam x=a+b si definim f(x)=(2+x)^n + (6-x)^n.
Atunci f'(x)=n(2+x)^{n-1} - n(6-x)^{n-1}.
f'(x)=0 => (2+x)^{n-1}=(6-x)^{n-1} => (pentru ca x>0) => 2+x = 6-x => x=2.
Aratam ca x=2 este punct de minim pentru f.
f'(x)<0 pentru x in (0,2) si f'(x)>0 pentru x in (2,infinit), deci f este descrescatoare pe (0,2] si crescatoare pe [2,infinit).
Deci x=2 este punct de minim local pentru f, deci f(x)>=f(2)=4^n + 4^n = 2^{2n+1} pentru orice x. Din (1), rezulta ca
(2+a+b)^n + (2+1/a+1/b)^n >= 2^{2n+1}.
