Salut,
Notăm cu x numărul din enunț, avem de aflat [x], partea întreagă a lui x.
Efectuăm ridicarea la pătrat, aplicăm formula de calcul prescurtat:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.
[tex]x=n+n+1+n+2+2\sqrt{n(n+1)}+2\sqrt{n(n+2)}+2\sqrt{(n+1)(n+2)}=\\\\=3n+3+2\sqrt{n(n+1)}+2\sqrt{n(n+2)}+2\sqrt{(n+1)(n+2)}.[/tex]
[3n + 3] = 3n + 3, pentru că expresia 3n + 3 este naturală, deci face parte din mulțimea Z (vezi proprietățile părții întregi) (1).
n² < n² + n < n² + 2n + 1, sau n² < n² + n < (n + 1)², sau
n² < n(n + 1) < (n + 1)² => [tex]n<\sqrt{n(n+1)}<n+1,\ deci\ [\sqrt{n(n+1)}]=n[/tex] (2).
n² < n² + 2n < n² + 2n + 1, sau n² < n² + 2n < (n + 1)², sau
n² < n(n + 2) < (n + 1)² => [tex]n<\sqrt{n(n+2)}<n+1,\ deci\ [\sqrt{n(n+2)}]=n[/tex] (3).
n² + 2n + 1 < n² + 3n + 2 < n² + 4n + 4, sau (n + 1)² < (n + 1)(n + 2) < (n + 2)²,
sau => [tex]n+1<\sqrt{(n+1)(n+2)}<n+2,\ deci\ [\sqrt{(n+1)(n+2)}]=n+1[/tex] (4).
Din (1). (2), (3) și (4) avem că [x] = 3n + 3 + n + n + n + 1 = 6n + 4.
Ai înțeles ?
Green eyes.
