Răspuns:
5
Explicație pas cu pas:
Vom calcula separat numaratorul si numitorul.
Metoda 1 pentru numarator (prin calcul direct):
[tex]5^0+5^1+5^2+5^3+5^4=1+5+25+125+625=781[/tex]
Metoda 2 pentru numarator (aplicam formula sumei termenilor aflati in progresie aritmetica):
Observam ca termenii sumei sunt in progresie geometrica, avand primul termen 1 si ratia q 5.
Atunci avem:
[tex]S=b_1*\frac{q^n-1}{q-1}=1*\frac{5^5-1}{5-1}=\frac{5^5-1}{4}=\frac{3125-1}{4}=781[/tex]
Metoda 1 pentru numitor (prin calcul direct):
[tex]5^0+5^{-1}+5^{-2}+5^{-3}+5^{-4}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}=\frac{5^4+5^3+5^2+5+1}{5^4}=\frac{781}{625}[/tex]
Metoda 2 pentru numitor (aplicam formula sumei termenilor aflati in progresie aritmetica):
Observam ca termenii sumei sunt in progresie geometrica, avand primul termen 1 si ratia q 1/5.
Atunci avem:
[tex]S=b_1*\frac{q^n-1}{q-1}=1*\frac{(\frac{1}{5})^5-1}{\frac{1}{5}-1}=\frac{\frac{1}{5^5}-1}{\frac{1-5}{5}}=\frac{\frac{1-5^5}{5^5}}{\frac{1-5}{5}}=\frac{\frac{5^5-1}{5^5}}{\frac{5-1}{5}}=\frac{5^5-1}{5^5}*\frac{5}{4}=\frac{5^5-1}{5^4*4}=\frac{3124}{2500}=\frac{781}{625}[/tex]
Vedem cat este raportul cerut:
[tex]\frac{5^0+5^1+5^2+5^3+5^4}{5^0+5^{-1}+5^{-2}+5^{-3}+5^{-4}}=\frac{781}{\frac{781}{625}}=781*\frac{625}{781}=625[/tex]
Acum trebuie doar sa ridicam numarul obtinut la puterea ceruta:
[tex](\frac{5^0+5^1+5^2+5^3+5^4}{5^0+5^{-1}+5^{-2}+5^{-3}+5^{-4}})^{\frac{1}{4}}=625^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{625}=\sqrt[4] {5^4}=5[/tex]
