Răspuns:
[tex]\sqrt{2}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Voi considera problema ca cum ar fi fost o fracție continuă:
Să se considere șirul dat prin: [tex]\begin{cases} x_0=\sqrt{2}\\ x_{n+1}=\frac{\sqrt{2}+2}{1+x_n},\quad n\in\mathbb{N}\end{cases}[/tex]. Deci expresia va fi egală cu [tex]\lim_{n\to\infty}{x_n}=\alpha[/tex] dacă, limita există și e finită. Voi demonstra existența și unicitatea, apoi voi calcula:
Fie funcția [tex]f\colon\left[1,\sqrt{2}+1\right]\to\left[1,\sqrt{2}+1\right],\quad f(x)=\dfrac{\sqrt{2}+2}{1+x}.[/tex] Deci:
[tex]x\in\left[1,\sqrt{2}+1\right]\implies \frac{\sqrt{2}+2}{1+1+\sqrt{2}}=1\le f(x)\le \frac{\sqrt{2}+2}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+1\le \sqrt{2}+1[/tex]
Ceia ce arată că are sens să vorbim despre șirul:
[tex]\begin{cases} x_0=\sqrt{2}\\ x_{n+1}=f(x_n),\quad n\in\mathbb{N}\end{cases}[/tex]
Să remarcăm că: [tex]\left|f'(x)\right|=\dfrac{\sqrt{2}+2}{(1+x)^2}\le\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}<1,\quad \forall x\in\left(1,\sqrt{2}+1\right)[/tex]
Adică, [tex]f[/tex] este un "contraction mapping". Fiindcă [tex]\left[1,\sqrt{2}+1\right][/tex] este un spațiu complet, prin teorema punctului fix a lui Banach, [tex]f[/tex] admite un unic punct fix care este [tex]\lim_{n\to\infty}{x_n}=\alpha\in\left[1,\sqrt{2}+1\right].[/tex]
De aici vom avea:
[tex]f(\alpha)=\alpha\iff \dfrac{\sqrt{2}+2}{1+\alpha}=\alpha\iff \alpha^2+\alpha-(\sqrt{2}+2)=0\implies \alpha=\dfrac{-1+\sqrt{1+4\sqrt{2}+8}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{1+2\cdot 2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^2}}{2}=\dfrac{-1+1+2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.[/tex]
