Explicație pas cu pas:
[tex]\text{\bf b)}[/tex] Voi folosi teorema următoare:
Fie [tex](a_n)[/tex] un șir descrescător, și limitat jos, înseamnă că șirul este convergent.
Ipoteză: [tex]\forall n\in\mathbb{N}\quad x_n>1[/tex]
Demonstrație:
Pentru [tex]n=0[/tex] se satisface. Să presupunem că se satisface pentru un anumit [tex]n\in\mathbb{N}[/tex].
O notă: [tex]f\left( x\right)=\frac{2x+1+3-3}{x+2} =\frac{2x+4-3}{x+2}=2-\frac{3}{x+2}[/tex]
Deci [tex]x_n>1\implies 2+x_n>3\implies\frac{1}{2+x_n}<\frac{1}{3}\implies\frac{3}{2+x_n}<1\implies -\frac{3}{2+x_n}>-1\implies \underbrace{2-\frac{3}{2+x_n}}_{x_{n+1}}>1[/tex]
Ipoteză: [tex]\forall n\in\mathbb{N}\quad x_{n+1} < x_{n}[/tex]
Demonstrație:
Dacă [tex]n=0[/tex] vom avea: [tex]x_1=2-\frac{2}{2+2}<2=x_0[/tex]
Să presupunem că se satisface pentru [tex]n-1\in\mathbb{N}[/tex] cu [tex] n\ge 1[/tex]. Deci:
[tex]{x}_{n+1}-{x}_{n}=2-\frac{3}{2+{x}_{n}}-\left(2-\frac{3}{2+{x}_{n-1}}\right)=3\left(\frac{1}{2+{x}_{n-1}}-\frac{1}{2+{x}_{n}}\right)=\\ =3\cdot\frac{2+{x}_{n}-\left(2+{x}_{n-1}\right)}{\left(2+{x}_{n-1} \right)\left(2+{x}_{n}\right)}=3\cdot\frac{{x}_{n}-{x}_{n-1}}{\left(2+{x}_{n-1}\right)\left(2+{ x }_{ n }\right)}<0[/tex]
adică [tex]x_{n+1} < x_n[/tex]
Aplicand teorema, concludem că [tex]\lim_{n\to\infty}{x_n}=x\in\left[0,+\infty\right)[/tex]
Deci [tex]x=\lim{x_{n+1}}=\lim{f(x_n)}=f\left(\lim{x_n}\right)=f(x)\implies x=\frac{2x+1}{x+2}\implies x(x+2)=2x+1\implies x^2=1\implies x=1[/tex] pentru că [tex]-1\notin \text{Dom}f[/tex].
[tex]\text{\bf c)}[/tex] Să observăm că
[tex]\forall k\in\mathbb{N}\quad y_{k+1}=y_k+x_{k+1}-1[/tex]
Ipoteză: Să se considere mulțimea [tex]S=\left\{p\in\mathbb{N}:\: \lim_{n\to\infty}{y_{n+p}-y_n}=0\right\}[/tex] cu privrea de a demonstra că [tex]S=\mathbb{N}[/tex]
Este foarte clar că [tex]0\in S[/tex]. Să presupunem că [tex]n\in S.[/tex]
Deci: [tex]y_{n+p+1}-y_n=y_{n+p}+x_{n+p+1}-1-y_n=(y_{n+p}-y_n)+(x_{n+p+1}-1)[/tex]
de unde vom avea:
[tex]\lim_{n\to\infty}{y_{n+p+1}-y_n}=\lim_{n\to\infty}{(y_{n+p}-y_n)+(x_{n+p+1}-1)}=\lim_{n\to\infty}{(y_{n+p}-y_n)}+\lim_{n\to\infty}{(x_{n+p+1}-1)}=0[/tex]
Ceia ce înseamnă că [tex]p+1\in S[/tex]. Prin consecință, [tex]S[/tex] este o mulțime inductivă. Știind să cea mai mică mulțime inductivă este [tex]\mathbb{N}[/tex] și că [tex]S\subseteq \mathbb{N}[/tex] vom avea că [tex]\mathbb{N}\subseteq S[/tex]. În așa fel am demonstrat că [tex]S=\mathbb{N}.[/tex]
Aceasta implică, prin definiție, că:
[tex]\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbb{N}:\:n>N\implies y_{n+p}-y_n<\varepsilon[/tex]
pentru orice [tex]p\in\mathbb{N}[/tex]
În particular, dacă considerăm [tex]m=n+p[/tex] vom avea:
[tex]\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbb{N}:\:m\ge n>N\implies y_m-y_n<\varepsilon[/tex]
În caz general, vom avea:
[tex]\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbb{N}:\:m,n>N\implies \left|y_m-y_n\right|<\varepsilon[/tex]
Adică [tex](y_n)[/tex] este șir Cauchy. Fiindcă [tex]\left[0,+\infty\right)[/tex] este un spațiu complet, toate șirurile Cauchy sunt convergente, în particular [tex](y_n)[/tex] este un șir convergent.
