Răspuns:
D=(-infinit,1)∪(2,infinit)
Explicație pas cu pas:
Pentru un logaritm oarecare de tipul [tex] \log_a b [/tex], avem 3 conditii de existenta:
- a>0
- a≠1
- b>0
Pentru logaritmul nostru, conditiile valabile pentru baza logaritmului sunt indeplinite, intrucat 2>0 si 2≠1.
Trebuie doar sa punem conditia ca argumentul logaritmului sa fie strict pozitiv.
Deci, vom avea conditia de existenta:
[tex]f(x)=\frac{x-1}{x-2}>0[/tex]
Daca numitorul este 0, atunci x=2 pentru ca x-2=0 implica x=2.
Daca numaratorul este 0, atunci x=1 pentru ca x-1=0 implica x=1.
Pentru a rezolva aceasta inecuatie, facem tabel de semn.
Tinem cont de semnul functiei de gradul intai. Semnul functiei de gradul intai ne spune ca pe primul interval (cel de dinaintea intalnirii valorii 0 in tabelul de semn) avem semn contrar lui a (a fiind coeficientul lui x din ecuatia de gradul intai), iar pe al doilea interval (cel de dupa intalnirea valorii 0 in tabelul de semn) avem semnul lui a (a, din nou, fiind coeficientul lui x din ecuatia de gradul intai).
__x__|-infinit_________1_________2_________infinit
_x-1__|-------------------------0++++++++++++++++++++++++++
_x-2__|-------------------------------------------0+++++++++++++++
_f(x)__|+++++++++++++++0-----------------|+++++++++++++++
Acum, citim solutia din tabelul de semn. Vom lua in considerare intervalele pe care gasim "+", intrucat noi rezolvam o inecuatie asa incat sa obtinem valori strict pozitive.
Vom lua intervale deschise deoarece dorim valori strict pozitive, nu doar pozitive (avem ">", nu "≥").
Deci, x∈(-infinit,1)∪(2,infinit).
Atunci, D=(-infinit,1)∪(2,infinit).
