I = ∫₀¹² x√(14-√(13²-x²)) dx
Fac schimbarea de variabilă:
√(13²-x²) = t
⇒ 13²-x² = t² ⇒ x² = 13²-t² ⇒ 2xdx = -2tdt
⇒ xdx = -tdt
x = 0 ⇒ t = 13
x = 12 ⇒ t = √[(13-12)(13+12)] = √25 = 5
I = ∫₁₃⁵ -t√(14-t) dt = ∫₅¹³ t√(14-t) dt
Fac schimbarea de variabilă:
√(14-t) = y
⇒ 14-t = y² ⇒ t = 14 - y² ⇒ dt = -2ydy
t = 5 ⇒ y = √9 = 3
t = 13 ⇒ y = √(14-13) = 1
I = ∫₃¹ (14-y²)y·(-2ydy) =
= 2∫₁³ (14-y²)y² dy =
= 28∫₁³ y² dy - 2∫₁³ y⁴ dy =
= 28y³/3⏐₁³ - 2y⁵/5⏐₁³ =
= 28·3³/3 - 28·1³/3 - 2·3⁵/5 + 2·1²/5 =
= 28·27/3 - 28/3 - 2·243/5 + 2/5 =
= 756/3 - 28/3 - 486/5 + 2/5 =
= 728/3 - 484/5 =
= (3640 - 1452)/15
= 2188/15
Răspuns: c)
