GENERALIZAȚIE:
Aceste puncte 4. a) și b) sugerează următoarele proprietăți:
i) [tex] \forall k\in\mathbb{N} \quad X^k=P^{-1}A^kP[/tex];
ii) [tex] \forall q\in\mathbb{C}[x]\quad q(X)=P^{-1}q(A)P[/tex],
unde [tex]\mathbb{C}[x][/tex] este spațiul (linear) al polinomilor cu coeficienți în [tex]\mathbb{C}[/tex].
Prima se arată prin inducție în [tex]k[/tex] și lăs ca exercițiu pentru cititor.
Voi demonstra ii):
Fie [tex]q\in\mathbb{C}[x][/tex]. În conformitate cu definiția mulțimii polinomilor, există [tex]m\in\mathbb{N}[/tex] și există [tex]a_0,a_1,...a_m\in\mathbb{C}[/tex] în așa fel încât
[tex] p=\sum_{i=0}^{m}{a_ix^i}.[/tex]
Deci, vom avea:
[tex]q(X)=q(P^{-1}AP)=\sum_{i=0}^{m}{a_i(P^{-1}AP)^i}=\sum_{i=0}^{m}{a_i\left(P^{-1}A^iP\right)}=P^{-1}\left(\sum_{i=0}^{m}{a_iA^i\right)}P=P^{-1}q(A)P.[/tex]
Mai pe scurt, la problema noastră a) se rezolvă, considerând [tex]q=x^3[/tex] și b) considerând [tex]q=ax^2+bx+c[/tex].
