Explicație pas cu pas:
Pentru a=1, sistemul devine:
[tex]\left \{ {{x+y+z=1} \atop {x+3y+z=1}} \atop {x+9y+z=1}} \right.[/tex]
Matricea asociata sistemului este:
[tex]A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&3&1\\1&9&1\end{array}\right)[/tex]
Determinantul matricii asociate este:
[tex]det(A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&3&1\\1&9&1\end{array}\right|=3+9+1-3-9-1=0[/tex]
Cum determinantul este 0, nu putem aplica metoda lui Cramer.
Aplicam metoda lui Gauss:
[tex]\left \{ {{x+y+z=1} \atop {x+3y+z=1}} \atop {x+9y+z=1}} \right.[/tex]
Scoatem x in functie de y si z din prima relatie si inlocuim in relatiile urmatoare:
[tex]\left \{ {{x=1-y-z} \atop {1-y-z+3y+z=1}} \atop {1-y-z+9y+z=1}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{x=1-y-z} \atop {2y=0}} \atop {8y=0}} \right.[/tex]
Si am gasit y=0.
Inlocuim in relatiile urmatoare:
[tex]\left \{ {{x=1-z} \atop {y=0}} \atop {z \in R}}[/tex]
Odata ce nu mai avem nicio restrictie pentru z, atunci z este orice numar real. Pe y il stim deja ca fiind 0, deci ramanem cu x care depinde de z prin prima relatie data in sistem. Asadar, avem un sistem compatibil unic nedeterminat.
Mai stim ca:
[tex] x_0^3+y_0^3+z_0^3=7 [/tex]
Inlocuim ceea ce stim:
[tex] (1-z_0)^3+0^3+z_0^3=7 [/tex]
[tex]1-3*1^2*z_0+3*1*z_0^2-z_0^3+z_0^3=7[/tex]
[tex]1-3*1^2*z_0+3*1*z_0^2-z_0^3+z_0^3=7\\3z_0^2-3z_0=6\\z_0^2-z_0-2=0\\\Delta=(-1)^2-4*1*(-2)=9\\z_{01}=\frac{1+3}{2}=2\\z_{02}=\frac{1-3}{2}=-1[/tex]
Cazul 1:
Daca [tex] z=2 [/tex], atunci [tex]x=1-2=-1[/tex] si tripletul solutie este:
[tex] (x_0,y_0,z_0)={(-1,0,2)} [/tex].
Verificam conditia:
[tex](-1)^3+0^3+2^3=7\\-1+8=7[/tex]
Conditia este satisfacuta.
Cazul 2:
Daca [tex] z=-1 [/tex], atunci [tex]x=1-(-1)=2[/tex] si tripletul solutie este:
[tex] (x_0,y_0,z_0)={(2,0,-1)} [/tex].
Verificam conditia:
[tex]2^3+0^3+(-1)^3=7\\8-1=7[/tex]
Conditia este satisfacuta.
