S = 1 + 2•2 + 3•2² + 4•2³ + ... + 100•2⁹⁹
S(x) = Σₖ₌₁¹⁰⁰ (k•xᵏ⁻¹)
Integrez în funcție de x:
∫ S(x) dx = Σₖ₌₁¹⁰⁰ (xᵏ) + C
∫ S(x) dx = x+x²+x³+...+x¹⁰⁰ + C
∫ S(x) dx = x•(x¹⁰⁰ - 1)/(x-1) + C
∫ S(x) dx = (x¹⁰¹ - x)/(x-1) + C
Derivez:
S(x) = [(101x¹⁰⁰ - 1)(x-1) - (x¹⁰¹ - x)]/(x-1)²
Fac x = 2:
S(2) = 101•2¹⁰⁰ - 1 - 2¹⁰¹ + 2
S(2) = 2¹⁰⁰•(101-2) + 1
⇒ S = 99•2¹⁰⁰ + 1
