Răspuns:
[tex] T_4=10*x^2 [/tex]
Explicație pas cu pas:
Scriem formula termenului general al dezvoltarii:
[tex] T_{k+1}=C_n^k*a^{n-k}*b^k [/tex]
Inlocuim a, b si n:
[tex] T_{k+1}=C_5^k*(x*\sqrtx)^{5-k}*(\sqrt[3]{\frac{1}{x}})^{k} [/tex]
Facem calculele ce se impun:
[tex] T_{k+1}=C_5^k*(\sqrt{x^3})^{5-k}*[(\frac{1}{x})^{\frac{1}{3}}]^{k} [/tex]
[tex] T_{k+1}=C_5^k*(x^{\frac{3}{2}})^{5-k}*[(\frac{1}{x})^{\frac{1}{3}}]^{k} [/tex]
[tex] T_{k+1}=C_5^k*x^{\frac{3(5-k)}{2}}*(\frac{1}{x})^{\frac{k}{3}} [/tex]
[tex] T_{k+1}=C_5^k*x^{\frac{15-3k}{2}}*(x^{-1})^{\frac{k}{3}} [/tex]
[tex] T_{k+1}=C_5^k*x^{\frac{15-3k}{2}}*x^{\frac{-k}{3}} [/tex]
[tex] T_{k+1}=C_5^k*x^{\frac{15-3k}{2}+\frac{-k}{3}} [/tex]
Punem conditia ca puterea lui x din formula termenului general sa fie 2 si avem ecuatia:
[tex] \frac{15-3k}{2}+\frac{-k}{3}=2 |*6 [/tex]
[tex] 3(15-3k)-2k=12 [/tex]
[tex] 45-9k-2k=12 [/tex]
[tex] -11k=-33 [/tex]
[tex] k=3 [/tex]
Inlocuim si k in formula termenului general si vedem cum arata termenul cerut din dezvolvare:
[tex] T_{3+1}=C_5^3*x^2 [/tex]
[tex] T_4=\frac{5!}{3!*2!}*x^2 [/tex]
[tex] T_4=\frac{4*5}{1*2}*x^2 [/tex]
[tex] T_4=10*x^2 [/tex]
