Răspuns:
5
Explicație pas cu pas:
Consideram matricea:
15
255
3555
45555
555555
6555555
75555555
855555555
9555555555
105555555555
1155555555555
12555555555555
........
201355555...5 {de 2013 ori)
a₁ = 1, a₂ = 5, a₃ = 2,....
De la 1 la 10 sunt 2+3+4+5+6+7+8+9+10= 10·11/2 - 1 = 5·11 - 1 = 54
De la 10 la 100 sunt (2+10)+(2+11)+(2+12)+...+(2+99) =
= 2·90 + 10+11+12+...+99 = 180 + 99·100/2 - (1+2+3+...+9) =
= 180 + 99·50 - 45 = 5085
Am trecut de a 2013-a cifră, ne întoarcem înapoi.
Pentru a afla a 2013-a cifră trebuie să rezolvăm ecuația:
2+3+4+5+6+7+8+9+10+(2+10)+(2+11)+(2+12)+...+(2+x) = 2013
54 + 2+2+2+...+2 {de x-10+1 ori} + 10+11+12+...+x = 2013
54 + 2·(x-9) + 1+2+3+...+x - (1+2+3+...+9) = 2013
54 + 2·(x-9) + x(x+1)/2 - 9·10/2 = 2013
54 + 2x-18 + x(x+1)/2 - 45 = 2013
2x+x(x+1)/2 - 9 = 2013
2x+x(x+1)/2 = 2022
4x+x(x+1) = 4044
x(x+5) = 4044 ⇒
61·66 = 4026
62·67 = 4154
⇒ x ∈ (61, 62)
X e clar că nu e număr întreg, dar este între 61 și 62
Suma noastră va fi așa:
De la 1 la X sunt 2013 cifre, adică:
2+3+4+5+...+9+(2+10)+(2+11)+(2+12)+...+(2+59)+(2+60)+(2+38) = 2013
De la 1 pâna la 60 sunt 2·61 + 61(61+1)/2 - 19 = 1994 cifre,
deci 6 (din 60) este a 1995-a cifră
De la 1 până la 61 sunt 2·62 + 62(62+1)/2 - 19 = 2058 cifre,
deci 6 (din 61) este a 2059-a cifră.
Înseamnă că a 2013-a cifră este 5, deoarece se află între 60 și 61.
