f(x)=x³+x+1 ;Dmax=R
f continua si derivabila pe Dmax(functie polinomiala)
f'(x)=3x²+1
f'(x)=0=>3x²+1=0
Δ=0-12=-12<0=>f'(x)>0,∀x∈Dmax=>f strict crescatoare pe Dmax si f continua pe Dmax=>f injectiva (1)
[tex]\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=\pm \infty[/tex]
Imf=(-∞;+∞)=Dmax si f continua pe Dmax=>f surjectiva (2)
Din (1) si (2)=>f bijectiva=>∃f⁻¹:R->R si f derivabila pe Dmax=>f⁻¹ derivabila pe R
f(x₀)=3<=>x₀³+x₀+1=3<=>x₀³+x₀=2
Obs ca x₀=1 (solutie unica din bijectivitate)
f derivabil in 1 si f bijectiva si continua=>f⁻¹ derivabila in 3
(f⁻¹)'(3)=1/(f'(1))=1/(3+1)=1/4 |*4=>4(f⁻¹)'(3)=1
