Răspuns:
m∈R
Explicație pas cu pas:
Fie f(x)=2x²+(4m-3)x+2m²-4m este parabola şi g(x)=x-2 este dreapta, tangentă la parabolă. În punctul de tangenţă derivata lui f(x) este egală cu panta dreptei. Atunci f'(x)=1. Din această condiţie vom afla abscisa punctului de tangenţă. f'(x)=(2x²+(4m-3)x+2m²-4m)'=4x+4m-3.
Deci 4x+4m-3=1, 4x=4-4m, x=1-m. Am găsit abscisa punctului de tangenţă.
În punctul de tangenţă f(x)=g(x). Înlocuim înloc de x pe 1-m.
f(1-m)=2(1-m)²+(4m-3)(1-m)+2m²-4m=2-4m+2m²+7m-4m²-3+2m²-4m=-m-1
deci x0=1-m, f(x0)=-m-1. Scriem ecuatia tangentei
y=f(x0)+f'(x0)(x-x0), înlocuiind obţinem:
y=-m-1+1*(x-(1-m), y=-m-1+x-1+m, deci y=x-2. Am obţinut ecuaţia dreptei. Parametrul m a dispărut, deci pentru orice m din R dreapta y=x-2 va fi tangentă la familia de parabole generată de ecuaţia y=2x²+(4m-3)x+2m²-4m.
