Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Faptul ca aₙ ∈(0,1 ) se demonstreaza foarte simplu prin inductie , nu voi sta sa demonstrez asta( daca nu reusesti , poti sa imi scrii in comentarii) .
Pentru punctul b) putem folosi urmatorul trick:
[tex]\texttt{Relatia de recurenta e mai poate scrie : }\\a_n\cdot \sqrt{a_n}=a_n-a_{n+1}\\\texttt{Tinand cont de faptul ca }a_{n}\in (0,1) \texttt{ rezulta ca }\\a_n^2<a_n\sqrt{a_n} =a_n-a_{n+1}\\\texttt{Prin urmare:}\\b_n=a_1^2+a_2^2+a_3^2+\ldots+a_n^2<a_1-a_2+a_2-a_3+\ldots+a_n-a_{n+1} =\\ =a_1-a_{n+1} < a_1 ,~ Q.E.D.[/tex]