Răspuns:
Explicație pas cu pas:
MN este linie mijlocie in trapez (este paralela cu bazele, iar AM=MB) deci lungimea sa este
MN=(a+b)/2
MP este raza in acest cerc, deci MP=AB/2
totodata fiind raza, este perpendiculara pe DC in punctul de contact P
daca unim pe D si pe C cu M obtinem
ΔADM≡ΔDMP sunt dreptunghice, au DM comuna, si MA≡MP ca raze
rezulta AD≡DP=b
La fel aratam ca CP=CB=a
ducem inaltimea din D pe AB (o notam DK) si aplicam Pitagora in triunghiul dreptunghic DKC
DK²=DC²-KC²
DK²=(a+b)²-(a-b)²=4a
DK=2√ab=2R de unde MP=R=√ab
(se putea folosi si puterea punctului fata de cerc!)
-cf teoriei din paralelism:
AQ/AB=DP/DC
AQ=b*2√ab/(a+b)
iar QM=√ab-2b√ab/(a+b)=(a-b)√ab/(a+b)
b)vom demonstra inegalitatile date folosindu-ne de inegalitatile din triunghi
in triunghiul dreptunghic DKC, o cateta DK, este totdeauna mai mica decat ipotenuza. DK<DC Cum DK este = diametru=2√ab
2√ab<(a+b)
adica √ab<(a+b)/2
-ptr. 2ab/(a+b)≤√ab simplificam prin numarul pozitiv √ab
2√ab<(a+b)
care este defapt aceeasi inegalitate ca mai sus, deci explicatia rezida
