Ți-aș sugera mai bine să o rezolvi prin metoda schimbării de variabilă, astfel:
[tex]\displaystyle I = \int \dfrac{1}{2\sqrt{3x+1}}\, dx\\ \\\\ \sqrt{3x+1} = t \Rightarrow 3x+1 = t^2 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow (3x+1)'\, dx = (t^2)'\, dt \Rightarrow 3\, dx = 2t\, dt \\\\ \\ I = \dfrac{1}{3}\int \dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}} = \dfrac{1}{3}\int \dfrac{2t}{2t}\, dt = \dfrac{1}{3}\int 1\, dt = \dfrac{1}{3}\cdot t +C = \\ \\ = \dfrac{1}{3}\sqrt{3x+1}+C[/tex]
Ai greșit când ai calculat integrala.
Nu trebuia să derivezi (3x+1)', trebuia să scrii așa:
[tex]\displaystyle ... = \dfrac{1}{2} \int (3x+1)^{-\frac{1}{2}}\, dx =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}\int (3x+1)'\cdot (3x+1)^{-\frac{1}{2}}\, dx = \\ \\ =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{(3x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C = \dfrac{1}{3}\sqrt{3x+1}+C[/tex]
