Răspuns:
Explicație pas cu pas:
(a₁+a₂+....+a₂₀₁₃)/2013 =1006 <=>
a₁+a₂+....+a₂₀₁₃ = 1006 · 2013 = 2025078
a₁+a₂+....+a₂₀₁₃ = 0+1+2+3+4+.....+2011+2012 =
= (2012+0)·2013:2 = 1006·2013 = 2025078
Media primelor 2013 numere naturale este = 1006
Deoarece 0 nu trebuie sa faca parte din aceasta suma,
rezulta ca nu exista 2013 numere diferite si fara 0 care sa
aibe media aritmetica egala cu 1006.
Explicație pas cu pas:
Stim ca media aritmetica este data de formula:
[tex] M_a=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n},~unde~n~este~numarul de numere~si~a_i,~i \in{1,....n}~sunt~numerele[/tex].
Media a 2013 numere va fi:
[tex] M_a=\frac{a_1+a_2+...+a_{2013}}{2013} [/tex].
Putem afla suma:
[tex] a_1+a_2+...+a_{2013}=M_a*2013[/tex]
[tex] a_1+a_2+...+a_{2013}=1006*2013[/tex].
Observam ca numarul [tex]1006*2013[/tex] poate fi scris astfel:
[tex]1006*2013=\frac{2*1006*2013}{2}=\frac{2012*2013}{2}[/tex].
Stim ca suma primelor n numere naturale este:
[tex]S=\frac{n(n+1)}{2},~unde~n~este~ultimul~numar~din~suma[/tex].
Prin identificare, observam ca:
[tex] n=2012 [/tex].
Deci, media aritmetica a primelor 2012 numere naturale nenule este 1006.
Pentru a avea 2013 numere, trebuie sa il includem si pe 0. Dar, asa contrazicem ipoteza.
Deci, nu exista 2013 numerele naturale toate nenule a caror medie aritmetica sa fie 1006.
