[tex]\displaystyle I_n=\int_{0}^{\pi}e^x\cos (nx)\, dx = e^x\cos(nx)\Big|_{0}^\pi + n\int_{0}^{\pi}e^x\sin(nx)\, dx = \\ \\ = e^{\pi}\cos(n\pi)-1+\Big(ne^x\sin{(nx)}\Big)\Big|_{0}^\pi -n^2\int_{0}^{\pi}e^x\cos(nx)\, dx \\ \\\\ I_n =e^{\pi}\cos(n\pi) -1-n^2I_n\\\\\\ (1+n^2)I_n = e^{\pi}\cos(n\pi) - 1 \\ \\ I_n = \dfrac{e^{\pi}\cos(n\pi) - 1}{n^2+1} \\ \\ \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty}I_n = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{e^\pi\cos(n\pi)-1}{n^2} = \boxed{0}[/tex]
Deoarece con(nπ) oscilează între -1 și 1 când n tinde la infinit.
Deci cos(nπ) poate fi considerată constantă cand n tinde la infinit.
