Răspuns:
a)
Explicație pas cu pas:
[tex] a^2-2b^2=1 \iff a^2=1+2b^2[/tex]
Ceia ce sugerează că [tex] 1+2b^2 [/tex] este un pătrat perfect. Știm că mulțimea pătraților perfecți este infinită. În acest fel, fie mulțimea [tex] P:=\left\{n^2:\:n\in \mathbb{N} \right\}[/tex] . Consideră funcția următoare:
[tex] f\colon P\to B, \quad f(x) = 1+ 2x^2[/tex] unde [tex] B:=\left\{1+2b^2:\: b\in\mathbb{N}\right\}. [/tex] Se verifică foarte ușor că această funcție este injectivă. Aceasta înseamnă că cardinalul lui [tex] P[/tex] este mai mic sau egal decât cardinalul lui [tex] B[/tex], ce înseamnă că [tex] B [/tex] este infinit. Pentru a termina demonstrația, este doar necesar de a arată că [tex] \varphi\colon A'\to B, \quad \varphi(a+b\sqrt{2})=1+2b^2[/tex] este o funcție bijectivă, unde [tex] A' [/tex] este mulțimea [tex] A[/tex] restrictă la coeficienți naturali. În acest caz dacă [tex] A' [/tex] este infinit, cu atât mai mult [tex] A. [/tex]
[tex] \hfill{\boxdot} [/tex]
