[tex]f = X^6+aX+\hat{5}\in\mathbb{Z}_7[X] \\ \\ \\ \boxed{1}\quad a = \hat{0} \Rightarrow f = X^6+\hat{5} = (X^3-\hat{4})(X^3+\hat{4})\quad \text{de la punctul b)} \\ \Rightarrow f \text{ este reductibil pentru }a= \hat 0\\ \\ \boxed{2}\quad a\neq \hat{0}\Rightarrow \text{ a este inversabil.}\\ \\ (1,7);(2,7);(3,7);(4,7);(5,7);(6,7)\text{ sunt prime intre ele.} \\\\ \Rightarrow a^{-1} \in \{\hat{1},\hat 2,\hat 3,\hat 4,\hat 5,\hat 6\} \Rightarrow a^{-1}\in Z_{7}\backslash \{\hat{0}\} \\ \\ \text{Notam }a^{-1} = b,\quad b\neq \hat{0}.[/tex]
[tex]f(b) = b^6+ab+\hat{5} = \hat{1}+a\cdot a^{-1}+\hat 5 = \hat{1}+\hat{1}+\hat{5} = \hat{0} \\ \\ \text{Conform teoremei lui Bezout, deoarece }f(b) = \hat{0},\\ \text{inseamna ca }f \text{ se divide cu }(X-b),\quad b\neq \hat{0}.\\ \\ \Rightarrow f \text{ este reductibil pentru }a\in \mathbb{Z}_7 \backslash \{\hat{0}\}.\\ \\ \text{Din }\boxed{1} \text{ si }\boxed{ 2 } \Rightarrow f\text{ este reductibil pentru }a\in \{\hat 0\}\cup (\mathbb{Z}_7 \backslash \{\hat{0}\}) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow f\text{ este reductibil pentru }a\in \mathbb{Z}_{7}.[/tex]
