[tex]A(1,3),B(3,-3),C(-5,1)[/tex]
a)Fie M,N şi P mijloacele laturilor AB,BC,respectiv AC.
M mijlocul lui AB :
[tex]x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2[/tex]
[tex]y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} = \frac{3 + ( - 3)}{2} = \frac{3 - 3}{2} = \frac{0}{2} = 0[/tex]
[tex] = >M(2,0)[/tex]
N mijlocul lui BC :
[tex]x_{N}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2} = \frac{3 + ( - 5)}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{ - 2}{2} = - 1[/tex]
[tex]y_{N}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2} = \frac{ - 3 + 1}{2} = \frac{ - 2}{2} = - 1[/tex]
[tex] = > N(-1,-1)[/tex]
P mijlocul lui AC :
[tex]x_{P}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} = \frac{1 + ( - 5)}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{ - 4}{2} = - 2[/tex]
[tex]y_{P}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2[/tex]
[tex] = > P(-2,2)[/tex]
[tex]MN=\sqrt{{(x_{N}-x_{M})}^{2}+{(y_{N}-y_{M})}^{2}}[/tex]
[tex]MN = \sqrt{ {( - 1 - 2)}^{2} + {( - 1 - 0)}^{2} } [/tex]
[tex]MN = \sqrt{ {( - 3)}^{2} + {( - 1)}^{2} } [/tex]
[tex]MN = \sqrt{9 + 1} [/tex]
[tex]MN = \sqrt{10} [/tex]
[tex]MP=\sqrt{{(x_{P}-x_{M})}^{2}+{(y_{P}-y_{M})}^{2}}
[/tex]
[tex]MP = \sqrt{ {( - 2 - 2)}^{2} + {(2 - 0)}^{2} } [/tex]
[tex]MP = \sqrt{ {( - 4)}^{2} + {2}^{2} } [/tex]
[tex]MP = \sqrt{16 + 4} [/tex]
[tex]MP = \sqrt{20} [/tex]
[tex]MP = 2 \sqrt{5} [/tex]
[tex]NP=\sqrt{{(x_{P}-x_{N})}^{2}+{(y_{P}-y_{N})}^{2}}
[/tex]
[tex]NP = \sqrt{ {[ - 2 - ( - 1)]}^{2} + {[2 - ( - 1)]}^{2} } [/tex]
[tex]NP = \sqrt{ {( - 2 + 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2} } [/tex]
[tex]NP = \sqrt{ {( - 1)}^{2} + {3}^{2} } [/tex]
[tex]NP = \sqrt{1 + 9} [/tex]
[tex]NP = \sqrt{10} [/tex]
[tex]MN=NP=>\Delta MNP \: isoscel[/tex]
[tex]P=MN+MP+NP = \sqrt{10} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{10} = 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{10} = 2( \sqrt{5} + \sqrt{10} )[/tex]
b)Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC :
[tex] x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3} = \frac{1 + 3 + ( - 5)}{3} = \frac{4 - 5}{3} = - \frac{1}{3} [/tex]
[tex]y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}
= \frac{3 + ( - 3) + 1}{3} = \frac{3 - 3 + 1}{3} = \frac{1}{3} [/tex]
[tex] = > G( - \frac{1}{3} , \frac{1}{3} )[/tex]
