Răspuns:
b)
Explicație pas cu pas:
Să fixăm um [tex] \varepsilon\in\left(0,1\right).[/tex] În aceste condiții se arată, foarte ușor, că [tex]\forall x\in\left[\varepsilon,1\right]\quad g(x)=\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)[/tex] este o funcție constantă. În primul rând se arată că [tex]\forall x\in\left[\varepsilon,1\right]\quad g'(x)=0[/tex] și după aia, de exemplu, [tex]g(1)=2\arctan(1)=\frac{\pi}{2}.[/tex]
De acea, vom avea
[tex]\forall x\in\left[\varepsilon,1\right]\qquad f(x)=x\left(\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{\pi}{2}x[/tex]
Volumul obținut prin rotația axei [tex]x[/tex] e dată prin expresia:
[tex]V=\pi\int_a^b{\left[f(x)\right]^2dx} [/tex]
De unde vom avea că
[tex]V=\pi\lim_{\varepsilon\to 0}{\int_\varepsilon^1{\frac{\pi^2}{4}x^2dx}=\frac{\pi^3}{4}\int_0^1{x^2dx}=\frac{\pi^3}{12}[/tex]
[tex]\hfill{\boxdot}[/tex]
