Răspuns:
[tex]x\in\mathbb{R}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Fie [tex]y=x^2-4x+5[/tex]. Deci, se pretinde de a rezolva inecuația
[tex]5y+1>\dfrac{4}{y}[/tex].
Este ușor de observat că [tex]y>0, \quad \forall x\in\mathbb{R}[/tex], pentru că [tex]\Delta=4^2-4\cdot5<0[/tex] și coeficientul director este pozitiv. De acea a rezolva inecuația de sus este echivalent cu a rezolva inecuația următoare:
[tex]5y^2+y-4>0[/tex]
Rezolvând, vom vedea că rădăcinile ecuației [tex]5y^2+y-4=0[/tex] vor fi
[tex]\begin{cases}y_1=\frac{4}{5}\\y_2=-1\end{cases}[/tex]. De aici putem scrie:
[tex]5y^2+y-4>0\iff 5\left(y-\frac{4}{5}\right)\left(y+1\right)>0\iff\big(y-\frac{4}{5}>0\quad \wedge\quad y+1>0\big) \quad \vee \quad \big(y-\frac{4}{5}<0\quad \wedge \quad y+1<0\big)\iff y\in\left(\frac{4}{5},+\infty)\cup\left(-\infty,-1\right)=\mathbb{R}\setminus\left[-1,\frac{4}{5}\right][/tex]
Fiindcă sunt puține puncte de oferit pentru așa problemă, lăs pentru autor/cititor ca exercițiu ca să se rezolve inecuația
[tex]x^2-4x+5\in\mathbb{R}\setminus\left[-1,\frac{4}{5}\right].[/tex]
Fiind mai concret, trebuie să se arăte că
[tex]\forall x\in\mathbb{R}\qquad x^2-4x+5>\frac{4}{5}.[/tex]
Ceia ce termină rezolvarea.
