Răspuns:
[tex]\frac{2010}{2011}[/tex]
Scriem expresia observând că fiecare fracție se poate scrie ca o diferență de două fracții consecutive:
[tex]\frac{1}{1*2} = \frac{1}{1 } - \frac{1}{2}\\\\\ \frac{1}{2*3} = \frac{1}{2 } - \frac{1}{3}\\...............................\\ \\\frac{1}{2010*2011} = \frac{1}{2010} - \frac{1}{2011}[/tex]
deci
[tex]\frac{1}{1*2} +\frac{1}{1*3} + .... +\frac{1}{2010*2011}[/tex]
[tex]\frac{1}{1 } - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +.....+ \frac{1}{2010} - \frac{1}{2011} [/tex]
Reducând termenii obținem
[tex]1-\frac{1}{2011} = \frac{2011-1}{2011}=\frac{2010}{2011}[/tex]
