Răspuns:
Problema 4
Explicație pas cu pas:
Linii importante in triunghi, una dintre liniile importante in triunghi este:
- Mediana = segmentul care uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse; medianele se intersecteaza in G= centrul de greutate al triunghiului, care se gaseste la 1/3 de baza si 2/3 de varful acestuia (triunghiului).
La noi este punctul O
Proprietăți ale medianei
- se intersectează, conform reciprocei teoremei lui Ceva, într-un punct numit centru de greutate al triunghiului, care împarte triunghiul în trei triunghiuri de arii egale;
- centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la 1/3 de mijlocul laturii pe care cade mediana și 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana;
- medianele împart triunghiul în două triunghiuri de arii egale (echivalente);
- folosind teorema lui Stewart, lungimea medianei este egală cu :
2b² + 2c² - a²
m = √ -----------------------
4
unde a este latura pe care cade mediana iar b si c laturile care formeaza unghiul din care pleaca mediana.
Intersectia a 3 mediane formeaza centrul de greutate.
Doar intr-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.
In triunghiul nostru ABC, AM este mediana, deci MB=MC=4√3
BC=MB+MC=4√3 + 4√3 = 8√3 cm
In triunghiul nostru ABC, BN este mediana, deci AN=NC=3√3
AC=AN+NC=3√3+3√3 = 6√3 cm
Avem toate laturile triunghiului ABC, aflam perimetrul:
P=AB+BC+AC= 2√3+8√3+6√3= 16√3 cm
Acum aflam mediana AM:
Stim ca AO este la 2/3 de vârful triunghiului din care pleacă mediana.
Atunci avem AO=5=(2/3) AM
Scoatem pe AM
2AM=15
AM=15/2=7,5 cm
La fel si pentru mediana BN
BO=(2/3)BN
2·BN=7·3
BN=21/2=10,5 cm
