Răspuns:
Explicație pas cu pas:
In primul rand trebuie sa aflam in ce punct (a;0) Gf atinge axa Ox:
a^2 - 2a + m = 0
a1,2 = 1 +- rad(1-m)
1-m ≥ 0
m ≤ 1 Este o prima conditie de existenta a solutiei pe R.
Apoi trebuie sa avem f´(a) = 0, panta tangentei la Gf.
f(x) = (x^2 - 2x + m) / (x^2 - 6x + 8) ≤ (x^2 - 2x + 1)/ (x^2 - 6x + 8) = (x-1)^2 / [(x-2)(x-4)] = g(x), am folosit direct Viete pentru aflarea radacinilor si descompunerea numitorului.
Calculam tabelul de variatie pt g(x):
MA OPRESC AICI. ESTE MULT PREA TARZIU SI ASTAZI AM TREBURI FFF IMPORTANTE DE REZOLVAT. AM SA REVIN MAINE SEARA. MULTUMESC PENTRU INTELEGERE.
Tabelul de semne al functiei
Se calculeaza prima si cea de-a doua derivata.
Daca cea de-a doua derivata nu are zerouri, atunci nu exista nici puncte de inflexiune.
Daca un Gf este tangent o singura data la axa Ox, inseamna ca f´´(x) = 0 are o unica solutie, iar f´(x) are monotonii diferite fata de acea solutie UNICA.
Calculam f´si f´´ dupa regula (f/g)´ = (f´g - g´f)/g^2, g≠0, ∀x∈Dg = domeniul de definitie al functiei g:
f´(x) = [(2x-2)(x^2-6x+8) - (2x-6)(x^2 - 2x + m)] / (x^2 - 6x + 8)^2, x∉{2,4} din relatiile lui Viete, a.i. sa nu se anuleze numitorul.
f´(x) = ----
