a) Fie M - mijlocul laturii BC.
Cu teorema lui Pitagora în ΔVMB ⇒ VM = 6√21 cm
[tex]\it \mathcal{A}_{\ell}=4\cdpo\mathcal{A}_{VBC}=4\cdot\dfrac{BC\cdot VM}{2}=2\cdot12\sqrt3\cdot6\sqrt{21}=144\sqrt{63}= \\ \\ = 144\sqrt{9\cdot7}=144\cdot3\sqrt7=432\sqrt7cm^2\\ \\ \\ \mathcal{A}_b=AB^2=(12\sqrt3)^2=144\cdot3=432\ cm^2\\ \\ \\ \mathcal{A}_t=\mathcal{A}_{\ell}+\mathcal{A}_b =432\sqrt7+432=432(\sqrt7+1)cm^2[/tex]
Ducem OM-apotema bazei, OM=12√3/2=6√3 cm
Cu teorema lui Pitagora în ΔVOM ⇒ h=VO =18√2 cm
[tex]\it \mathcal{V} =\dfrac{\mathcal{A}_b\cdot h}{3}=\dfrac{432\cdot18\sqrt2}{3}432\cdot6\sqrt2=2592\sqrt2\ cm^3[/tex]
b) Unghiul format de muchia laterală VA și planul bazei este egal cu unghiul format de VA cu proiecția ei pe plan, adică unghiul VAO.
Diagonala AC a pătratului ABCD este egală cu 12√3·√2 =12√6 ⇒
⇒ AO = 6√6cm.
În triunghiul VOA, dreptunghic în O, avem VA=12√6 =2·OA și cu reciproca teoremei unghiului de 30° ⇒ m(∡OVA)=30° ⇒ m(∡VAO)=60° (complementul lui 30°)
c)
[tex]\it \mathcal{V}_{VABC}=\dfrac{\mathcal{V}_{VABCD}}{2} =\dfrac{2592\sqrt2}{2}=1296\sqrt2\ cm^3\\ \\ \\ Dar,\ \mathcal{V}_{VABC}=\dfrac{\mathcal{A}_{VBC}\cdot d[A,\ (VBC)]}{3} \Rightarrow 1296\sqrt2=\dfrac{\dfrac{12\sqrt3\cdot6\sqrt{21}}{2}\cdot d}{3}\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow 3\cdot1296\sqrt2=36\sqrt{63}\cdot d \Rightarrow 3\cdot1296\sqrt2=108\sqrt{7}\cdot d \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow d=\dfrac{3\cdot1296\sqrt2}{108\sqrt7}= \dfrac{36\sqrt2}{\sqrt7}=\dfrac{36\sqrt{14}}{7}\ cm[/tex]
