Explicație pas cu pas:
Trebuie să observi că numărul de la numitor se poate scrie ca n×(n+4).
Astfel, urmează: 5 = 1×5, 45=5×9 etc
În final, se va ajunge la 1845 = 41×45
Deci, putem scrie:
S = [tex]\frac{1}{1*5} + \frac{1}{5*9} + ... + \frac{1}{41*45}[/tex]
Apoi, vom scrie pe S în funcție de numitori, astfel:
[tex]S = \frac{(\frac{5-1}{1*5} + \frac{9-5}{5*9} + ... \frac{45-41}{41*45} )}{4}[/tex]
=> [tex]S =\frac{1}{4} (\frac{5}{1*5} - \frac{1}{1*5} +\frac{9}{5*9} -....\frac{41}{41*45} )[/tex]
[tex]=> S = \frac{1}{4} (1-\frac{1}{5} +\frac{1}{5} -....-\frac{1}{45} +\frac{1}{45} -\frac{1}{41} )[/tex]
Observăm că se simplifică doi câte doi, și rămâne:
[tex]S = \frac{1}{4} (1-\frac{1}{41} )\\Adica, S = \frac{1}{4} *\frac{40}{41} \\[/tex]
Adica, S = [tex]\frac{10}{41}[/tex]
