Prima metodă:
D fiind simetricul lui A față de punctul M, atunci AM=DM
M fiind mijlocul laturii BC atunci: BM=MC
dreptele AD si BC se întretaie în punctul M, atunci unghiurile opuse la vârf sunt egale:
\angle{AMB}=\angle{DMC}∠AMB=∠DMC
Deci ai două câte două laturi egale, și unghiul dintre ele egale, înseamnă că triunghiurile AMB si DMC sunt congruente cu un caz LUL(Latura,Unghi,Latura) de aici reiese că:
si ultima latură din triunghiul AMB este egală cu cealaltă rămasă din DMC: AB=CD
Apoi putem vedea că dreapta AD taie dreptele AB si CD, cu unghiurile formate
\angle{BAM}=\angle{CDM}∠BAM=∠CDM care respectă egalitatea unghiurilor alterne interne unei secante cand taie două drepte paralele, adică AB||CD
triunghiurile ABD si DCA au latura comună AD, laturile AB=CD, si unghiurile dintre ele egale, relația de mai sus, atunci tot prin caz LUL rezultă că ABD și ACD sunt congruente.
A doua metodă: se unește D cu B și se formează patrulaterul ABCD, cu diagonalele AD și BC. M este mijlocul lui AD dar și al lui BC, deci diagonalele se întretaie la jumătate. Aceasta este o proprietate a paralelogramului, de unde deducem că ABCD este paralelogram cu AB||CD. Mai știm de asemenea că orice diagonală a unui paralelogram creează două triunghiuri congruente. Din moment ce AD este diagonala, atunci triunghiurile ABD si DCA vor fi congruente. SUCCES.
