Răspuns:
Ex. 26
Explicație pas cu pas:
In cele trei desene avem triunghiuri dreptunghice.
Aplicam teorema Pitagora in triunghi dreptunghic:
ipotenuza² = cateta² + cateta²
Aplicam teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic:
În orice triunghi dreptunghic lungimea înălțimii, la puterea a 2 -a, dusă din vârful unghiului drept este egală cu inmultirea dintre lungimile ce se creeaza pe ipotenuză.
Aplicam formula ( a - b )² = a² - 2·a·b + b²
Aflare x pentru primul desen:
Avem inaltime dusa din unghiul drept care este 9
Aplicam teorema inaltimii in acest triunghi care are un unghi drept (90⁰)
Inaltimea imparte ipotenuza in x si 3x
Ne uitam la formula teoremei inaltimii si scriem si noi la acest ex.
9² = 3x · x
9² = 3x²
3x² = 9²
x² = 9² / 3
x = √9² / 3
x = 9√1/3
Aflare y pentru al 2-lea desen
Aici, in poza 2, ipotenuza este de 6.
O particica este 2y
Inseamna ca cealalta particica a ipotenuzei este 6 - 2y
Avem inaltime dusa din unghiul de 90°
Deci putem aplica teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic dat in poza:
notam cu h inaltimea
h² = 2y · (6-2y)
Dar nu putem afla y pentru ca in relatia h² = 2y · (6-2y) exista doua necunoscute: h si y
Deci ma incurca h
Dar h pot sa il aflu cu teorema lui Pitagora din triunghiul dreptunghic care are ipotenuza y√6 si o cateta 2y.
In acest triunghi, inaltimea h a triunghiului cel mare dreptunghic este doar o cateta.
( y√6 )² = (2y)² + h²
( y√6 )² - (2y)² = h²
y² ·6 - 4y² = h²
6y² - 4y² = h²
2y² = h²
h² = 2y² si il lasam asa pentru ca asa am nevoie de el
Mai sus scrisesem teorema inaltimii:
h² = 2y · (6-2y) acum avem si h² = 2y²
Egalam h² = h²
2y · (6-2y) = 2y²
2·y·6 - 2·2·y·y = 2y²
12y - 4y² = 2y²
12y - 4y² - 2y² = 0
12y - 6y² = 0
6y ( 2 - y ) = 0
6y=0
2-y = 0 ⇒ 2 = y
y=2
Aflare z pentru al 3-lea desen
Aflam inaltimea h care este cateta in triunghiul dreptunghic cu ipotenuza z
Folosim Teorema Pitagora in Δ cu ipotenuza z :
z² = ( z-1 )² + h²
scoatem pe h²
z² - ( z-1 )² = h²
h² = z² - ( z-1 )²
h² = z² - ( z² - 2z + 1 )
h² = z² - z² + 2z - 1 )
h² = 2z - 1
Acum folosim teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic ce mare unde h este inaltime
h² = 3 · ( z - 1 )
Mai sus am obtinut o relatie a lui h²
Acum egalam cele doua relatii:
h² = 2z - 1
h² = 3 · ( z - 1 ) ⇒ 2z - 1 = 3 · ( z - 1 )
2z - 1 = 3 · ( z - 1 )
2z - 1 = 3z - 3
2z - 3z = -3 + 1
- z = - 2 | · ( -1 )
z=2
