Răspuns:
n = 1
Explicație pas cu pas:
Ne amintim definitia factorialului.
n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 1
Rescriem primul termen din ecuatie astfel:
(n+4)! = (n+4)·(n+3)!
Si il introducem inapoi in ecuatia initiala:
(n+4)! - n(n+3)! = 96
(n+4)·(n+3)! - n(n+3)! = 96
Acum putem scoate in factor pe (n+3)! astfel:
(n+3)! · (n+4-n) = 96
In a doua paranteza se reduce "n" cu "-n" si obtinem:
(n+3)! · 4 = 96
Impartim prin 4 si optinem:
(n+3)! = 24
24 este o valoare mica pentru factorial, asa ca facem cateva calcule pe ciorna pentru n=1, n=2, n=3, n=4
1! = 1
2! = 2·1 = 2
3! = 3·2·1 = 6
4! = 4·3·2·1 = 24
Si acum se observa ca 4! este egal cu 24. Coincidenta(sau nu), noi cautam exact numarul pentru care factorialul da 24. Si l-am gasit. Este 4. Asta inseamna ca:
(n+3)! = 4!
De aici se intelege ca:
n+3 = 4
Scadem 3 din ambele parti si obtinem:
n = 1
Ne verificam rapid:
(1+4)! - 1·(1+3)! = 96
5! - 4! = 96
Calculam tot pe ciorna cat e 5!:
5! = 5·4·3·2·1 = 120
120-24 = 96
96 = 96
Ura! Am rezolvat exercitiul. Raspuns final: n=1
