Răspuns
Explicație pas cu pas:
a) AO este raza bazei (triunghi echilateral), deci [tex]AO=\frac{l\sqrt{3} }{3} =4\sqrt{3}[/tex]. Triunghiul VOA este dreptunghic in O. Prin teorema lui Pitagora avem [tex]VO=\sqrt{VA^{2} -AO^{2}} =\sqrt{24}=2\sqrt{6}[/tex].
b) Fie H mijlocul lui BC. Avem VH apotema piramidei si AH inaltimea bazei. [tex]AH=\frac{l\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{2}[/tex]. Triunghiul VHB este dreptunghic in B. Prin teorema lui Pitagora avem [tex]VH=\sqrt{VB^{2}-BH^{2}}=6[/tex]. Verificam reciproca teoremei lui Pitagora in triunghiul VAH. [tex]VA^{2}+VH^{2}=AH^{2}=>(6\sqrt{2})^{2}+6^{2}=(6\sqrt{3})^2[/tex] - adevarat, deci triunghiul VAH este dreptunghic. AH ⊥ BC, VH ⊥ BC si AV ⊥ VH. Din reciproca II a teoremei celor 3 perpendiculare reiese ca VA⊥(VBC).
c) G este centrul de greutate al triunghiului VBC, deci se afla la doua treimi de baza si o treime de varf, deci [tex]\frac{GH}{VH}=\frac{1}{3}[/tex]. Pe de alta parte, O este centrul de greutate in tringhiul ABC, deci putem scrie [tex]\frac{OH}{AH}=\frac{1}{3}[/tex]. Deci [tex]\frac{GH}{VH}=\frac{OH}{AH}[/tex]. Aplicam teorema lui Thales in triunghiul VHA, de unde reiese faptul ca GH║VA.
