Răspuns
Explicație pas cu pas:
DE ⊥(ABC) ⇒DE⊥PE TOATE DREPTELE DIN PLAN, DECI SI PE AD
cf teoremei celor trei perpendiculare deoarece avem DE⊥AD si AD⊥AB⇒EA⊥AB deci EAeste chiar distanta de la E la AB, pe care o calculam cu Pitagora in ΔEDA
EA²=ED²+AD²=9+12=21 EA=√21
Analog ED⊥DC si DC⊥BC⇒EC⊥BC deci EC este distanta de la E la BC
calculam EC din triunghiul dreptunghic EDC
EC²=ED²+DC²=9+36=45 EC=√45=3√5
-ducem din DK perpendiculara pe AC, cu K∈AC
conform th. catetei in ΔDAC, AD²=AK*AC
dar AC²=AD²+DC²=12+36=48 AC=4√3
deci AK=AD²/AC=12/4√3=√3 KC=4√3-√3=3√3
si th inaltimii da:
DK²=AK*CK=9 DK=3
Aplicam din nou th. celor 3 perpendiculare: DE⊥DK si DK⊥AC⇒EK⊥AC, deci EK este distanta de la E la AC
EK²=DE²+DK²=9+9=18 EK=3√2
prelungim DK pana intersecteaza MN (in punctul P∈MN). Cum MN este linie mijlocie in ΔABC, aceasta imparte in 1/2 si inaltimea din B pe AC, deci KP este jumatate din aceasta inaltime. Cum inaltimea respectiva este egala cu DK (prin simetrie se poate arata asta!) avem:
KP=DK/2=3/2
atunci DP=DK+KP=9/2
si pentru ultima data th. celor trei perpendiculare:
DE⊥DP si DP⊥MN⇒EP⊥MN si deci EP este distanta de la E la MN
EP²=DE²+DP²=9+81/4=117/4 EP=√117/2
Sper sa nu fi gresit ceva la calcule, dar vezi tu!
