Stiind ca domeniul de definitie al functiei este R, f(x) ∈ R, ∀ x ∈ R
Presupunem ca functia nu este continua in a. Asta poate insemna trei lucruri:
- Una din limite este infinita:
[tex]\lim_{x\rightarrow a_{\pm}}f(x)=\pm\infty\\\\\lim_{x\rightarrow a_{\pm}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{(lim_{x\rightarrow a_{\pm}}f(x))-f(a)}{(lim_{x\rightarrow a_{\pm}}x)-a}=\frac{\pm\infty-f(a)}{a-a}=\frac{\pm\infty}{0_{\pm}}=\pm\infty \not\in R[/tex]
Dar stim ca limita de mai sus nu poate fi infinit deoarece ni se spune in ipoteza ca aceasta este un numar real.
- Limitele laterale sunt finite si egale, dar diferite de f(a):
[tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b\neq f(a)\rightarrow b-f(a)\neq0\\\\\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{(lim_{x\rightarrow a}f(x))-f(a)}{(lim_{x\rightarrow a}x) -a}=\frac{b-f(a)}{a-a}=\frac{b-f(a)}{0_{\pm}}=\pm\infty\not\in R[/tex]
Din acelasi motiv, acest caz este imposibil.
- Limite laterale sunt finite dar diferite:
[tex]lim_{x\rightarrow a_+}f(x)=a_1\\\\lim_{x\rightarrow a_-}f(x)=a_2\\\\a_1\neq a_2\\\\ld(a)=lim_{x\rightarrow a_+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{a_1-f(a)}{0_+}\\ls(a)=lim_{x\rightarrow a_-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{a_2-f(a)}{0_-}[/tex]
Acum trebuie sa discutam existenta limitelor laterale:
[tex]a_1\neq a_2\rightarrow a_1-f(a)\neq a_2 -f(a)[/tex]
Asta inseamna ca numaratorii care corespund celor doua limite laterale(ld(a) si ls(a)) sunt diferiti. Asta inseamna ca nu pot fi amandoi 0, deci unul dintre ei este diferit de 0.
Daca a1 - f(a) este diferit de 0, atunci:
[tex]ld(a)=\frac{a_1-f(a)}{0_+}=\pm\infty \not\in R[/tex]
Daca ar fi fost 0, atunci am fi avut nedeterminare 0/0. Dar in cazul asta, cealalta limita ar fi fost infinit. Astfel, am ajuns la concluzia ca una din limitele laterale trebuie sa fie infinit, deci si acest caz este imposibil.
Am aratat ca daca functia nu ar fi continua in a, atunci limita din ipoteza nu ar apartine R. Dar cum ni se spune ca apartine R, inseamna ca singura posibilitate ramasa este ca functia sa fie continua in a.
