Răspuns
Explicație pas cu pas:
lim la ∞ din f(x) este ∞ (deoarece grad numarator este mai mare decat la numitor)
dreapta y=mx+n este asimptota oblica, iar calculu coeficientilor este urmatorul:
m=lim f(x)/x=lim(x²+2)/(x²-1)=1
n=lim(f(x)-mx)=lim[(x²+2)/(x-1)-x]=lim(x+2)/(x-1)=1
deci y=x+1 este asimptota oblica
-pentru ecuatia tangentei folosim tot ecuatia unei drepte y=mx+n, dar aici panta tangentei este m=f'(x0)=f'(2)
dar f'(x)=(x²-2x-2)/(x-1)² deci f'(2)=(4-4-2)/1=-2
dar punctul de tangenta este comun atat graficului functiei cat si tangentei:
P(2,y0) a carui coordonate verifica functia: f(2)=y0 y0=6
P(2,y0) a carui coordonate verifica tangenta: 6=-2*2+n n=10
y=-2x+10 este ecuatia tangentei
la punctul c care da cazul de nedeterminare 1 la ∞, ne propunem sa ajungem la expresia lim(1+1/n)^n=e
(f(x)/x)^(x+3)=[(x²+2)/x²-1)]^(x+3)=[1-(x+2)/(x²-1)]^(x+3)=[1+1/(x+2)/(x²-1)]^(x+3)= [1+1/(x²-1)/(x+2)]^{[(x²-1)/(x+2)] * (x+2)/(x²-1)] *(x+3)}
deci lim(f(x)/x)^(x+3)=e ^(lim[(x+2)/(x²-1) *(x+3)]=e^lim(x²+5x+6)/(x²-1)=e.
