Răspuns:
[tex]\boldsymbol {\red{n=2}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Amplificăm fracțiile cu conjugata
La numitor avem
[tex]( \sqrt{3} + 1)( \sqrt{3} - 1) = {( \sqrt{3} )}^{2} - {1}^{2} = 3 - 1 = 2 \\ [/tex]
[tex]( \sqrt{5} + \sqrt{3} )( \sqrt{5} - \sqrt{3} ) = {( \sqrt{5} )}^{2} - {( \sqrt{3} )}^{2} = 5 - 3 = 2 \\ [/tex]
[tex]( \sqrt{7} + \sqrt{5} )( \sqrt{7} - \sqrt{5} ) = {( \sqrt{7} )}^{2} - {( \sqrt{5} )}^{2} = 7 - 5 = 2 \\ [/tex]
...
[tex]( \sqrt{25} + \sqrt{23} )( \sqrt{25} - \sqrt{23} ) = {( \sqrt{25} )}^{2} - {( \sqrt{23} )}^{2} = 25 - 23 = 2 \\ [/tex]
Toate fracțiile au numitor 2, putem să dăm factor comun 1/2 (sau scriem totul pe o singură linie de fracție)
Numărul n devine
[tex]n = \dfrac{1}{2}(\not\sqrt{3} - 1 + \not\sqrt{5} - \not\sqrt{3} + \not\sqrt{7} - \not\sqrt{5} + ... + \sqrt{25} - \not\sqrt{23}) = \\ [/tex]
- se reduc termenii asemenea
[tex] = \dfrac{1}{2}( - 1 + \sqrt{25}) = \dfrac{1}{2}( - 1 + 5) = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = \bf 2 \\ [/tex]
Deci n este număr natural
