Răspuns:
a) Aria dreptunghiului ABCD
[tex]\mathcal{A}_{ABCD} = L \cdot \ell = AB \cdot AD = 10\sqrt{2} \cdot 10 = \bf100\sqrt{2} \ cm^2[/tex]
b) Demonstrăm că CN este înălțime în triunghiul dreptunghic BCD, adică verifică relația CN · BD = BC · CD
ABCD este dreptunghi ⇒ CD≡AB ⇒ CD = 10√2, BC≡AD ⇒ BC = 10 cm
M este mijlocul AB ⇒ MB = AB:2 = 10√2:2 ⇒ MB = 5√2 cm
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔABD și ΔBCM
[tex]BD = \sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2+10^2} = \bf 10\sqrt{3} \ cm\\[/tex]
[tex]CM = \sqrt{BC^2+MB^2} = \sqrt{10^2+(5\sqrt{2})^2} = \bf 5\sqrt{6} \ cm\\[/tex]
AB║CD, BD secantă ⇒ ∡BDC≡∡ABD (alterne interne congruente) ⇒ ∡CDN≡∡MBN și ∡CND≡∡MNB (opuse la vârf) ⇒ ΔCND~ΔMNB
[tex]\dfrac{ND}{BN} = \dfrac{CN}{MN} = \dfrac{CD}{MB} = \dfrac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 2 \Rightarrow \dfrac{CN}{CM-CN} = \dfrac{CN}{5\sqrt{6}-CN} = 2\\[/tex]
[tex]3CN = 10\sqrt{6} \Rightarrow CN = \dfrac{10\sqrt{6}}{3}[/tex]
[tex]\dfrac{BC \cdot CD}{BD} = \dfrac{10 \cdot 10\sqrt{2}}{10\sqrt{3}} = \dfrac{10\sqrt{6}}{3} = CN \Rightarrow \bf CN \perp BD\\[/tex]
⇒ ∡BNC = 90°
c) Fie Q mijlocul ND ⇒ DQ≡QN. De la punctul b) avem
[tex]\dfrac{ND}{BN} = 2 \Rightarrow ND = 2BN \Rightarrow DQ \equiv BN\\[/tex]
AD≡BC și AD║BC ⇒ ∡ADQ≡∡CBN ⇒ ΔADQ≡ΔCBN (criteriul L.U.L.) ⇒ ∡AQD=90° ⇒ AQ⊥DQ ⇒ AQ⊥DN
Din DQ≡QN și AQ⊥ND ⇒ AQ este mediatoarea segmentului ND ⇒ punctul A este situat pe mediatoarea segmentului ND
q.e.d.
