Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{AM \equiv AD}} , (b)\boldsymbol{ \red{\dfrac{216}{25} \ cm^2 }}[/tex]
Explicație pas cu pas:
ΔABC isoscel, AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm
a) M este simetricul lui D față de AC, AC∩DM = {E} ⇒ AC este mediatoarea segmentului DM ⇒ DE≡EM și DM⊥AC (definiția punctului simetric față de o dreaptă)
DM⊥AC ⇒ ∡AED=∡AEM=90°, DE ≡ EM și AE latură comună ⇒ ΔAED≡ΔAEM (criteriul C.C.) ⇒ AM≡AD
[tex]\boldsymbol{ \red{\star \star \star}}[/tex]
b) ΔABC isoscel și D este mijlocul BC ⇒ AD este mediană și înălțime ⇒ AD⊥BC ⇒ ∡ADC = 90° și DC = BC:2 = 12:2 = 6 cm
Aplicăm teorema lui Pitagora în ΔADC
[tex]AD = \sqrt{AC^2-DC^2} = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{64} = \bf 8 \ cm\\[/tex]
∡ADC=∡DEC=90° și ∡C comun ⇒ ΔADC~ΔDEC (criteriul U.U.U.)
[tex]\dfrac{AD}{DE} = \dfrac{DC}{EC} = \dfrac{AC}{DC} \Rightarrow \dfrac{8}{DE} = \dfrac{6}{EC} = \dfrac{10}{6}\\[/tex]
[tex]\Rightarrow EC = \dfrac{6\cdot6}{10} = \dfrac{18}{5}, \ DE = \dfrac{8\cdot6}{10} = \dfrac{24}{5}\\[/tex]
[tex]\mathcal{A}_{\Delta DE C} = \dfrac{DE \cdot EC}{2} = \dfrac{\dfrac{24}{5} \cdot \dfrac{18}{5}}{2} = \bf \dfrac{216}{25} \ cm^2\\[/tex]
