Răspuns:
Notăm intersecția diagonalelor paralelogramului AC∩BD={O}
[tex]BO = DO = \dfrac{1}{2} \cdot BD[/tex]
O este mijlocul AC și E este mijlocul BC ⇒ BO și AE sunt mediane în ΔABC ⇒ M este centrul de greutate
[tex]BM = \dfrac{2}{3} \cdot BO = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot BD = \dfrac{1}{3} \cdot BD\\[/tex]
O este mijlocul AC și F este mijlocul DC ⇒ DO și AF sunt mediane în ΔADC ⇒ N este centrul de greutate
[tex]DN = \dfrac{2}{3} \cdot DO = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot BD = \dfrac{1}{3} \cdot BD\\[/tex]
Atunci lungimea segmentului MN este
[tex]MN = BD - BM - DN = BD - \dfrac{1}{3}BD - \dfrac{1}{3}BD = \dfrac{1}{3} \cdot BD\\[/tex]
Lungimea segmentului MN este egală cu o treime din lungimea segmentului BD, iar M și N se află pe BD ⇒ ΔAMN este egală cu o treime din aria ΔABD. Diagonala BD împarte paralelogramul în două triunghiuri de arii egale ⇒ aria ΔABD este egală cu jumătate din aria ABCD. De aici obținem:
[tex]\mathcal{A}_{\Delta AMN} = \dfrac{1}{3} \cdot \mathcal{A}_{\Delta ABD} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{1}{6} \cdot \mathcal{A}_{ABCD}[/tex]
Raportul este:
[tex]\dfrac{\mathcal{A}_{\Delta AMN}}{\mathcal{A}_{ABCD}} = \boldsymbol{ \red{\dfrac{1}{6}}}[/tex]
R: c)
✍ Reținem:
Dacă punctul G este centrul de greutate al triunghiului rezultă că punctul G se află, pe fiecare mediană, la o treime de bază și două treimi de vârf.
Mai multe detalii despre centrul de greutate brainly.ro/tema/10743754
