Răspuns:
Să determinăm numărul de patru cifre \( abcd \) care îndeplinește următoarele condiții:
1. Suma cifrelor este 23: \( a + b + c + d = 23 \).
2. Suma primelor două cifre este 10: \( a + b = 10 \).
3. Suma dintre prima și a treia cifră este 10: \( a + c = 10 \).
4. Ultimele două cifre sunt numere consecutive: \( |c - d| = 1 \).
Pentru a rezolva, să urmărim pas cu pas condițiile date:
1. Din condiția \( a + b = 10 \) și \( a + c = 10 \), rezultă că \( b = c \).
2. Acum avem \( a + b + b + d = 23 \) (deoarece \( b = c \)), adică \( a + 2b + d = 23 \).
3. Știm deja că \( a + b = 10 \), deci \( b = 10 - a \).
4. Înlocuind \( b \) în ecuația \( a + 2b + d = 23 \), obținem:
\[
a + 2(10 - a) + d = 23 \implies a + 20 - 2a + d = 23 \implies 20 - a + d = 23 \implies d = a + 3
\]
5. De asemenea, știm că ultimele două cifre sunt numere consecutive: \( |b - d| = 1 \), adică \( |(10 - a) - (a + 3)| = 1 \):
\[
|10 - a - a - 3| = 1 \implies |7 - 2a| = 1
\]
Aceasta are două soluții:
\[
7 - 2a = 1 \quad \text{sau} \quad 7 - 2a = -1
\]
Rezolvăm fiecare ecuație:
\[
7 - 2a = 1 \implies 6 = 2a \implies a = 3
\]
\[
7 - 2a = -1 \implies 8 = 2a \implies a = 4
\]
6. Verificăm fiecare soluție:
- Dacă \( a = 3 \):
\[
b = 10 - a = 7, \quad c = b = 7, \quad d = a + 3 = 6
\]
Numărul este 3776 și verificăm:
\[
3 + 7 + 7 + 6 = 23
\]
\( d \) și \( c \) sunt consecutive (6 și 7).
- Dacă \( a = 4 \):
\[
b = 10 - a = 6, \quad c = b = 6, \quad d = a + 3 = 7
\]
Numărul este 4667 și verificăm:
\[
4 + 6 + 6 + 7 = 23
\]
\( d \) și \( c \) sunt consecutive (6 și 7).
Concluzie:
Există două numere de patru cifre care îndeplinesc toate condițiile date: 3776 și 4667.
