Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{a \in \{-2.3\}}} , \ (b) \boldsymbol{ \red{M(6,-3)}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Punctele A(2a, 7) şi B(1, 6+2a), unde a ∈ R
a) Lungimea segmentului AB se calculează folosind formula distanței dintre două puncte:
[tex]AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}[/tex]
Aplicând formula pentru punctele A și B și ridicăm la pătrat:
[tex](1 - 2a)^2 + [(6 + 2a) - 7]^2 = (5\sqrt{2})^2 \\[/tex]
[tex](1 - 2a)^2 + (6 + 2a - 7)^2} = 50[/tex]
[tex](2a - 1)^2 + (2a - 1)^2 = 50 \Rightarrow 2 \cdot (2a - 1)^2 = 50\\[/tex]
[tex](2a - 1)^2 = 5^2 \Rightarrow |2a - 1| = 5\\[/tex]
Studiem cele două cazuri:
[tex]2a - 1 = - 5 \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2\\[/tex]
[tex]2a - 1 = 5 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\\[/tex]
Deci valorile reale ale lui a sunt:
[tex]\bf a = -2 \text{ sau } a = 3[/tex]
b) Punctele devin:
[tex]A(2 \cdot (-2), 7) = A(-4, 7)[/tex]
[tex]B(1, 6 + 2 \cdot (-2)) = B(1, 2)[/tex]
M este simetricul lui A față de B, deci B este mijlocul segmentului AM
Dacă B este mijlocul segmentului AM, atunci:
[tex]x_B = \dfrac{x_A + x_M}{2} \Rightarrow 1 = \dfrac{-4 + x_M}{2} \Rightarrow -4 + x_M = 2 \Rightarrow x_M = 6[/tex]
[tex]y_B = \dfrac{y_A + y_M}{2} \Rightarrow 2 = \dfrac{7 + y_M}{2} \Rightarrow 7 + y_M = 4 \Rightarrow y_M = -3[/tex]
Deci coordonatele punctului M sunt: M(6, -3)
