Rezolvare:
a) Aducem la numitor comun:
[tex]E(x) = \dfrac{x+1}{2x+3} : \bigg(\dfrac{x+4}{5(x-1)} - \dfrac{^{5)} 1}{x-1}\bigg) \cdot \bigg(^{x+1)} 1 - \dfrac{x}{x+1}\bigg)[/tex]
[tex]= \dfrac{x+1}{2x+3} : \dfrac{x+4-5}{5(x-1)} \cdot \dfrac{x+1-x}{x+1} = \dfrac{x+1}{2x+3} : \dfrac{x-1}{5(x-1)} \cdot \dfrac{1}{x+1}\\[/tex]
[tex]= \dfrac{x+1}{2x+3} : \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x+1}{2x+3} \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{x+1}\\[/tex]
[tex]= \dfrac{5(x+1)}{2x+3} \cdot \dfrac{1}{x+1} = \bf \dfrac{5}{2x+3}[/tex]
[tex]b) \ |E(x)| \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq \dfrac{5}{2x+3} \leq 1\\[/tex]
Rezolvăm cele două inecuații:
[tex]- 1 \leq \dfrac{5}{2x+3} \Rightarrow \dfrac{5}{2x+3} + 1 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{2(x+4)}{2x+3} \geq 0\\[/tex]
Tabel de semn:
-∞.........-4.........-3/2.....+∞
(x+4)----0++++++++++
(2x+3)--------------0+++
E(x)+++0-----------|+++
[tex]x\leq -4 \ sau \ x\geq -\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]\dfrac{5}{2x+3} \leq 1 \Rightarrow \dfrac{5}{2x+3} - 1 \leq 0 \Rightarrow -\dfrac{2(x-1)}{2x+3} \leq 0 \Rightarrow \dfrac{2(x-1)}{2x+3} \geq 0\\[/tex]
Tabel de semn:
-∞...........-3/2.....1........+∞
(x-1)---------------0++++
(2x+3)-----0++++++++
E(x)+++++|-------0++++
[tex]x\leq -\dfrac{3}{2} \ sau \ x \geq 1[/tex]
Soluțiile le aflăm din intersecția celor două intervale, având în vedere condițiile de existență ale expresiei (excludem valoarea 1):
[tex]\bf S = \Big(-\infty;-4\Big] \cup \Big(1;+\infty\Big)[/tex]
c) E(a) este număr întreg numai dacă numitorul este divizor întreg al numărătorului:
[tex](2a+3) \in \mathcal{D}_{\pm5} \Rightarrow (2a+3) \in \{-5;-1;1;5\} \ \ \big|-3\\[/tex]
[tex]\Rightarrow 2a \in \{-8;-4;-2;2\} \ \ \big|:2 \Rightarrow a \in \{-4;-2;-1;1\}\\[/tex]
Avem în vedere condițiile de existență ale expresiei (excludem valorile -1 și 1):
[tex]\bf S = \{-4;-2\}[/tex]
